فرمول اعداد مثلثي

 فرمول عدد n ام مثلثي بصورت زير مي باشد:

مثال : چهارمين عدد مثلثي را با فرمول بدست آوريد:

بايد در فرمول بجاي n عدد ۴ را قرار دهيم

مثال : درالگوي عددهاي مثلثي , شكل ۹۵ از چند دايره

درست شده است؟

شكل چهارم

شكل سوم

شكل دوم

شكل اول

بايد در فرمول بجاي n عدد ۹۵ را قرار دهيم

تعداد پاره خط ها و نيم خط ها

1-هرگاه چند نقطه‏ ي متمايز(جدا از هم)،بر روي يك خط راست باشند تعداد پاره خط ها از فرمول زير به دست مي آيد.

2 ÷ (تعداد فاصله ها × تعداد نقطه ها ) = تعداد پاره خط ها

توجه : تعداد فاصله‏ ها هميشه يكي كم‏تر از تعداد نقطه‏ ها است.

2- هرگاه چند نقطه‏ ي متمايز،بر روي خط راست باشند، تعداد نيم خط‏ها از فرمول زير،به دست مي آيد.

2 × تعداد نقطه‏ ها = تعداد نيم خط‏ها

3- هرگاه چند نقطه‏ ي متمايز، برروي يك نيم خط باشند،تعداد نيم خط‏ها مانند مثال زير به دست مي‏آيد.

مثال: برروي يك نيم خط،هفت نقطه‏ ي متمايز وجود دارد چند نيم خط، در شكل وجود دارد؟

پس (8 = 1 + 7 ) نقطه داريم يعني 8 نيم خط خواهيم داشت.

4- هرگاه چند نقطه ‏ي متمايز، برروي يك پاره خط باشند نيم خطي، درشكل وجود ندارد.

برش و قسمت:

وقتي مي خواهيم يك قطعه يا جسمي رشته مانند را به قسمت هاي مساوي ويا نامساوي تقسيم كنيم هميشه تعداد قسمت‏ها يكي بيش‏تر از تعداد برش‏ها است.

مثال: يك آهنگر , ميله اي به طول 12 متر را به چهار قسمت تقسيم كرد او براي اين كار چند برش زده است؟

برش                3 = 1 – 4 (قسمت)

مجموع و اختلاف:

هرگاه مجموع دو عدد و اختلاف آن دو عدد را به ما بدهند و آن دو عدد را از ما بخواهند، از دو راه زير به دست مي‏آيد.

1-اگر مجموع واختلاف را از هم كم كرده،بر2 تقسيم كنيم عدد كوچك‏تر به دست مي‏آيد.

2- اگر مجموع واختلاف را با هم جمع كرده،بر2 تقسيم كنيم عدد بزرگ‏تربه دست مي‏آيد.

تعداد يك رقم در يك مجموعه‏ ي اعداد متوالي

1-از عدد1 تا 99 از همه‏ ي رقم‏ها 20 تا داريم به جز رقم(صفر)،كه از آن 9 تا داريم.

2-از عدد 100تا 199 از همه ‏ي رقم‏ها 20تا داريم به جز رقم(يك)،كه از آن 120 تا داريم.

3- از عدد 200تا 299 از همه‏ ي رقم‏ها 20تا داريم به جز رقم(دو)،كه از آن 120 تا داريم و ...

تعداد اعداد

در مجموعه اعداد طبيعي (از يك شروع مي‏شود)تعداد اعداد يك رقمي9 تا،اعداد دو رقمي 90تا،اعداد سه رقمي 900تا،اعداد چهاررقمي 9000 تاو... مي باشد.

تعيين تعداد عددهاي صحيح يك مجموعه‏ ي اعداد متوالي

1-اگر تعداداعداد،از عدد اولي تا عدد آخري مورد نظر باشد از فرمول زير،استفاده مي‏شود.

1 + (عدد اولي – عدد آخري) = تعداد اعداد

مثال: از عدد27 تا عدد 1027 چند عدد صحيح (عددي كه كسري و اعشاري نباشد) وجود دارد؟                 

تعداد اعداد   1001 = 1+(27 – 1027 )

 2-اگر تعداد اعداد،بين دو عدد اولي و آخري مورد نظر باشد از فرمول زير،استفاده مي‏شود.

1 – ( عدد اولي – عدد آخري) = تعداد اعداد

3- اگر تعداد اعداد زوج و يا فرد يك مجموعه‏ ي اعداد متوالي مورد نظر باشد از فرمول‏هاي زير استفاده مي‏شود.

1+ 2÷(كوچك‏ترين عدد زوج – بزرگ‏ترين عدد زوج) = تعداد اعداد زوج

1 + 2÷(كوچك‏ترين عدد فرد – بزرگ‏ترين عدد فرد) = تعداد اعداد فرد

مثال: از عدد 45تا 158چند عدد زوج وچند عدد فرد وجود دارد؟

57= 1 + 2 ÷ (46 – 158 ) = تعداد اعداد زوج

57 = 1 + 2 ÷ ( 45 – 157 )= تعداد اعداد فرد

مجموع اعداد صحيح متوالي

1-براي محاسبه‏ ي مجموع اعداد صحيح متوالي،از فرمول زير استفاده مي‏شود.

2 ÷ (تعداد اعداد × مجموع عدد اولي وعدد آخري ) = مجموع اعداد صحيح متوالي

مثال: محموع اعداد صحيح از 1 تا 100 را به دست آوريد؟

مجموع اعداد           5050 = 2 ÷ 100( × (100 + 1 ))

2- براي محاسبه مجموع اعداد صحيح فرد متوالي كه از عدد(يك) شروع  

مي‏شوند ويا مجموع اعداد صحيح زوج متوالي‏ كه‏ ازعدد(دو)شروع مي‏شوند

علاوه بر فرمول قبلي،مي‏توانيم از فرمول هاي زير استفاده كنيم.

                تعداد اعداد × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحيح فرد متوالي

       (1 + تعداد اعداد) × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحيح زوج متوالي

مثال: مجموع اعداد صحيح زوج و مجموع اعداد صحيح فرد متوالي از 1 تا100 را به دست آوريد؟

از 1 تا 100 ، 50تا فرد و 50 تا زوج هستند.

2500 = 50 × 50 = تعداد اعداد صحيح فرد متوالي

2550 = 51 × 50 = تعداد اعداد صحيح زوج متوالي

عدد وسطي

هرگاه مجموع چند عدد صحيح متوالي (با فاصله هاي يكسان) را بدهند و آن اعداد را بخواهند ،مجموع آن اعداد را بر تعدادشان تقسيم كرده،عدد وسطي به دست مي‏آيد.

1- اگر تعداد اعدادفرد باشد مانندمثال زير عمل،مي كنيم.

مثال: مجموع 5 عدد صحيح متوالي 75 مي‏باشدكوچك‏ترين عدد را به دست آوريد؟                                    

عدد وسطي                           15 = 5 ÷ 75

75 = 17 + 16 + 15 + 14 + 13

2- اگر تعداد اعداد زوج باشد مانند مثال زير عمل مي كنيم.

مثال: مجموع 6 عدد صحيح فرد متوالي 96 مي باشد بزرگ ترين عدد را به دست آوريد؟           

عدد وسطي               16 = 6  ÷ 96

رقم يكان

1- هرگاه چند عدد زوج را با هم جمع كنيم رقم يكان حاصل جمع،حتماً زوج خواهد شد.

2- هرگاه چند عدد فرد را با هم جمع كنيم رقم يكان حاصل جمع،ممكن است زوج باشد يا فرد.

اگر تعداد اعداد،فرد باشد رقم يكان حاصل جمع،فرد مي‏شود و بلعكس

3-هرگاه عدد زوجي را هرچند بار در خودش ضرب كنيم رقم يكان حاصل ضرب،حتماً زوج خواهد بود.

كسر بين دو كسر

براي نوشتن كسر بين دو كسر،كافي است صورت‏ها را با هم و مخرج‏ها را نيز را باهم جمع كرد به مثال زير توجه كنيد.

سه كسر بين دو كسر  نوشته شده است.

بخش پذيري

بخش پذيري بر 11 : از سمت چپ شروع مي كنيم و ارقام را يكي در ميان با هم جمع مي كنيم و بعد حاصل را از هم كم مي‏كنيم و حاصل تفريق را بر 11 تقسيم مي‏كنيم،اگر باقي مانده صفر شود بر 11 بخش پذير است.

مثال: آيا عدد 32121456 بر 11 بخش‏پذير است؟

تقسيم كسرها:

تقسيم كسر‏ها را به سه روش زير، مي توانيم انجام دهيم.

1- اگر مخرج‏ها مساوي باشند از مخرج‏ها صرف نظر كرده صورت كسر اول را بر صورت كسر دوم تقسيم مي‏كنيم.

اما اگر مخرج‏ها مساوي نباشند مخرج مشترك گرفته و مخرج‏ها را مساوي مي‏كنيم سپس صورت كسر اول را بر صورت كسر دوم تقسيم مي‏كنيم.

2- كسر اول را نوشته، علامت تقسيم را به ضرب تبديل كرده و سپس كسر دوم را معكوس مي كنيم و عمل ضرب را انجام مي دهيم.

3- دور در دور و نزديك در نزديك: از اين روش، فقط در مواقعي كه لازم باشد استفاده مي كنيم.

نسبت و تناسب :

1- تناسب زماني : در اين نوع تناسب، زمان تغييري نمي كند.

مثال : اگر 4 پيراهن روي طناب در مدت زمان يك ساعت خشك شوند 8 پيراهن در همان شرايط در همان يك ساعت خشك مي شود.

2- تناسب مستقيم : اگر قيمت يك تخم مرغ 100 تومان باشد 5 تخم مرغ 500 تومان مي شود يعني با افزايش تعداد تخم مرغ ها، قيمت خريد تخم مرغ ها نيز به همان نسبت افزايش مي يابد.

3- تناسب معكوس : گاهي اوقات كميت ها با هم نسبت عكس دارند يعني هرچه يكي را زياد كنيم به همان نسبت ، ديگري هم كم مي شود. در اين حالت مي گوييم تناسب معكوس است. مثلاً اگر2 كارگر، كاري را در مدّت 6 روز انجام مي دهند ،4 كارگر، همان كار را در مدت 3 روز انجام مي دهند.

زاويه‏ ي بين دو عقربه‏ ي ساعت شمار و دقيقه شمار:

براي محاسيه زاويه‏ ي بين دو عقربه‏ ي ساعت شمار و دقيقه شمار ، مقدار ساعت را در عدد 30 ضرب كرده، مقدار دقيقه را در عدد5/5 ضرب كرده، عدد كوچك تر را از عدد بزرگ تر كم مي كنيم. در صورتي كه جواب به دست آمده از 180 درجه بيش‏تر باشد آن را از 360 كم مي كنيم.

مثال: زاويه اي كه دو عقربه ي ساعت شمار و دقيقه شمار در ساعت 1:50 مي سازند چند درجه است؟

زاويه‏ ي بين دو عقربه  

مجموع زواياي داخلي چند ضلعي ها:

براي اين كه مجموع زاويه هاي داخلي هر چند ضلعي رامحاسبه كنيم ، تعداد ضلع ها را منهاي 2 نموده ، در 180 ضرب مي كنيم.

180 × (2 – تعداد ضلع ها ) = مجموع زاويه هاي داخلي

مثال : مجموع زاويه هاي داخلي يك 5 ضلعي را به دست آوريد؟

درجه 540 = 180× (2 – 5 ) : پنج ضلعي

تعداد قطرهاي چندضلعي ها:

از تعداد ضلع ها، 3 تا كم كرده، جواب را در تعداد ضلع ها ضرب كرده و سپس جواب را بر 2 تقسيم مي كنيم.

2÷ تعداد ضلع ها × ( 3 -  تعداد ضلع ها ) = تعداد قطرها

از هر راس چند ضلعي به اندازه‏ي (3- تعدا ضلع ها ) قطر مي گذرد. مثلا از يك راس چهار ضلعي ( 1= 3 – 4) يك قطر مي گذرد.

مثال : يك شش ضلعي چند قطر دارد؟

تعداد قطرها          9= 2 ÷ 6 × ( 3 – 6 )

تعداد زاويه ها:

هرگاه در چند زاويه ي مجاور كه داراي راس مشترك هستند ، بخواهيم تعداد زاويه ها را تعيين كنيم ، از فرمول زير استفاده مي كنيم.

                     2 ÷ (تعداد فاصله ها× تعداد نيم خط ها ) = تعداد زاويه ها

توجه : تعداد فاصله ها،از تعداد نيم خط ها يكي كم تر است.

مثال : در شكل روبرو چند زاويه وجود دارد؟

ارتفاع وارد بر وتر:

براي محاسبه ارتفاع وارد بر وتر ، مي توانيم از فرمول زير استفاده كنيم.

     وتر ÷ حاصل ضرب دو ضلع زاويه‏ ي قائمه= ارتفاع وارد بر وتر

مثال : اگر دو ضلع زاويه‏ي قائمه مثلث قائم الزاويه‏اي 5 و 12 س باشدووتر آن 15 س باشد. طول ارتفاع وارد بر وتر آن چقدر است؟

 همه فرمولهاي هندسي رياضي دبستان در يك عكس: